Question

【题目】某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个实心圆柱体和一个实心半球体组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为，工艺品的体积为。现设圆柱的底面半径为，工艺品的表面积为，半球与圆柱的接触面积忽略不计。

（1）试写出关于的函数关系式并求出的取值范围；

（2）怎样设计才能使工艺品的表面积最小？并求出最小值。

参考公式：球体积公式：；球表面积公式：，其中为球半径.

Answer 1

【答案】（1）；（2）按照圆柱的高为，圆柱的底面半径为，半球的半径为设计，工艺品的表面积最小，为.

【解析】

（1）由题知设圆柱的底面半径为2x，半球的半径为3x．设圆柱的高为h．通过工艺品的体积，求出圆柱的高与底面半径的关系，然后写出S关于x的函数关系式；

（2）利用（1）的表达式，通过导数，求出极值点，说明高、底面半径、球的半径的数值使工艺品的表面积最小．

（1）由题知设圆柱的底面半径为，半球的半径为，设圆柱的高为。

∵工艺品的体积为，∴，∴，

∴工艺品的表面积为

。

∵，且，∴，

∴。

（2）由（1）知，，

令，得，列表：

		1
		0	+
	↘		↗

∴在递减，在递增.

∴，此时，

答：按照圆柱的高为，圆柱的底面半径为，半球的半径为设计，工艺品的表面积最小，为.