Question

【题目】已知整数n≥4，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有4个元素的子集记为A1 ， A2 ， A3 ， …， ．
设A1 ， A2 ， A3 ， …， 中所有元素之和为Sn ．
（1）求S4 ， S5 ， S6并求出Sn；
（2）证明：S4+S5+…+Sn=10Cn+26 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=4时，集合M只有1个符合条件的子集，S4=1+2+3+4=10，

当n=5时，集合M每个元素出现了 次，S5= =40，

当n=6时，集合M每个元素出现了 次，S6= =140，

所以，当集合M有n个元素时，每个元素出现了 ，故Sn=

（2）证明：由（1）可得Sn= ．

∵Sn= = ，

则S4+S5+…+Sn=10（ ）= ．

得证

【解析】（1）根据新定义，直接计算n=4，5，6集合M的子集．归纳法得出Sn ． （2）利用组合的公式展开各项计算即可得证．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用子集与真子集和组合与组合数的公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握任何一个集合是它本身的子集；n个元素的子集有2n个,n个元素的真子集有2n －1个,n个元素的非空真子集有2n－2个；从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．