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a
=(2cos
ωx
2
,2sin
ωx
2
),
b
=(sin
ωx
2
3
sin
ωx
2
),ω>0
,记函数f(x)=
a
b
-
3
4
|
a
|2
,且以π为最小正周期.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=1,b=
2
,f(A)=0,求角C的值.
分析:(1)由题设知f(x)=2sin
ωx
2
cos
ωx
2
+2
3
sin
ωx
2
sin
ωx
2
-
3
=2sin(ωx-
π
3
),由函数以π为最小正周期,能求出ω.
(Ⅱ)因为f(A)=0,所以sin(2A-
π
3
)=0
,因为a>b,所以A=
π
6
.又因为a=1,b=
2
,所以由正弦定理,得sinB=
2
2
,由此能求出角C的值.
解答:解:(Ⅰ)∵
a
=(2cos
ωx
2
,2sin
ωx
2
),
b
=(sin
ωx
2
3
sin
ωx
2
),ω>0

函数f(x)=
a
b
-
3
4
|
a
|2
f(x)=2sin
ωx
2
cos
ωx
2
+2
3
sin
ωx
2
sin
ωx
2
-
3
…(1分)
=sinωx+
3
(1-cosωx)-
3
…(3分)
=2(
1
2
sinωx-
3
2
cosωx)=2sin(ωx-
π
3
)
.…(5分)
T=
ω
,解得ω=2.…(6分)
(Ⅱ)因为f(A)=0,所以sin(2A-
π
3
)=0

因为在△ABC中,∵a>b,∴A>B,所以A=
π
6
.…(7分)
又因为a=1,b=
2
,所以由正弦定理,得
a
sinA
=
b
sinB

也就是sinB=
bsinA
a
=
2
×
1
2
=
2
2

因为b>a,所以B=
π
4
或B=
4
.…(10分)
当B=
π
4
时,C=π-
π
6
-
π
4
=
12

当B=
4
时,C=π-
π
6
-
4
=
π
12
.…(12分)
点评:本题考查正弦定理的应用,解题时要认真审题,注意向量知识、三角函数恒等变换、三角形内角和定理等知识点的合理运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(2cosωx,1),
b
=(sinωx+cosωx,-1)
,(ω∈R,ω>0),设函数f(x)=
a
b
(x∈R)
,若f(x)的最小正周期为
π
2

(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调区间.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

数学公式=(2cosωx,数学公式sinωx),数学公式=(cosωx,2cosωx)(w>0),函数f(x)=数学公式数学公式的最小正周期为π:
(Ⅰ) 求f(x)的单调增区间
(Ⅱ) 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若f(A)=2,b=1,△ABC的面积为数学公式,求数学公式的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知向量
a
=(2cosωx,1),
b
=(sinωx+cosωx,-1)
,(ω∈R,ω>0),设函数f(x)=
a
b
(x∈R)
,若f(x)的最小正周期为
π
2

(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调区间.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

a
=(2cos
ωx
2
,2sin
ωx
2
),
b
=(sin
ωx
2
3
sin
ωx
2
),ω>0
,记函数f(x)=
a
b
-
3
4
|
a
|2
,且以π为最小正周期.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=1,b=
2
,f(A)=0,求角C的值.

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