Question

设

a

=(2cos

ωx

2

，2sin

ωx

2

)，

b

=(sin

ωx

2

，

3

sin

ωx

2

)，ω＞0，记函数f(x)=

a

•

b

-

3

4

|

a

|2，且以π为最小正周期．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=

2

，f（A）=0，求角C的值．

Answer 1

分析：（1）由题设知f(x)=2sin

ωx

2

cos

ωx

2

+2

3

sin

ωx

2

sin

ωx

2

-

3

=2sin（ωx-

π

3

），由函数以π为最小正周期，能求出ω．
（Ⅱ）因为f（A）=0，所以sin(2A-

π

3

)=0，因为a＞b，所以A=

π

6

．又因为a=1，b=

2

，所以由正弦定理，得sinB=

2

2

，由此能求出角C的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=(2cos

ωx

2

，2sin

ωx

2

)，

b

=(sin

ωx

2

，

3

sin

ωx

2

)，ω＞0，
函数f(x)=

a

•

b

-

3

4

|

a

|²，
∴f(x)=2sin

ωx

2

cos

ωx

2

+2

3

sin

ωx

2

sin

ωx

2

-

3

…（1分）
=sinωx+

3

(1-cosωx)-

3

…（3分）
=2(

1

2

sinωx-

3

2

cosωx)=2sin(ωx-

π

3

)．…（5分）
由T=

2π

ω

=π，解得ω=2．…（6分）
（Ⅱ）因为f（A）=0，所以sin(2A-

π

3

)=0，
因为在△ABC中，∵a＞b，∴A＞B，所以A=

π

6

．…（7分）
又因为a=1，b=

2

，所以由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

，
也就是sinB=

bsinA

a

=

2

×

1

2

=

2

2

，
因为b＞a，所以B=

π

4

或B=

3π

4

．…（10分）
当B=

π

4

时，C=π-

π

6

-

π

4

=

7π

12

；
当B=

3π

4

时，C=π-

π

6

-

3π

4

=

π

12

．…（12分）

点评：本题考查正弦定理的应用，解题时要认真审题，注意向量知识、三角函数恒等变换、三角形内角和定理等知识点的合理运用．