Question

已知函数
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）由点H（0，h）向f（x）引切线，切点分别为P，Q，当△PQH为正三角形时，求h的值．

Answer 1

解：（I）f（x）是偶函数，证明如下：
当x＞0 时，-x＜0，有：f（x）=x²+x-2
f（-x）=（-x）²-（-x）-2=x²+x-2=f（x）；
当x＜0 时，-x＞0，有：f（x）=x²-x-2
f（-x）=（-x）²+（-x）-2=x²-x-2=f（x）；
当x=0，也有f（-x）=f（x），
又函数的定义域为R，关于原点对称，∴f（x）是偶函数；
（II）画出函数f（x）的图象，如图所示，结合图象及（I）中结论可知，
若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），则x₁和x₂关于原点O对称，
从而x₁+x₂=0，∴f（x₁+x₂）=-2；
（III）如图，根据对称性可知，当△PQH为正三角形时，切线PH的倾斜角为60°，
∴其斜率k=，
当x＞0时，f（x）=x²+x-2，∴f′（x）=2x+1，
设P（m，n），则2m+1=，且m²+m-2=n，
解得：m=，n=-，
故切线PH的方程为：y+=（x-），令x=0得y=，
即h=．
分析：（I）由已知易判断出函数的定义域为R，关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论；
（II）画出函数f（x）的图象，如图所示，结合图象及（I）中结论可知，若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），则x₁和x₂关于原点O对称，从而求出f（x₁+x₂）；
（III）如图，根据对称性可知，当△PQH为正三角形时，切线PH的倾斜角为60°，求出其斜率k，再结合导数几何意义求出点P（m，n）的坐标，从而得出切线PH的方程，最后令x=0即可．
点评：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数奇偶性的判断、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．