Question

（2012•洛阳模拟）设F₁，F₂分别为双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的左右焦点，过F₁引圆x²+y²=9的切线F₁P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F₁P的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|等于（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：由双曲线方程，算出c=

a2+b2

=5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|-|MT|=4-a=1，得到本题答案．

解答：解：∵MO是△PF₁F₂的中位线，
∴|MO|=

1

2

|PF₂|，|MT|=

1

2

|PF₁|-|F₁T|，
根据双曲线的方程得：
a=3，b=4，c=

a2+b2

=5，∴|OF₁|=5，
∵PF₁是圆x²+y²=9的切线，|OT|=3，
∴Rt△OTF₁中，|FT|=

52-32

=4，
∴|MO|-|MT|=|=

1

2

|PF₂|-（

1

2

|PF₁|-|F₁T|）=|F₁T|-

1

2

（|PF₁|-|PF₂|）=4-a=1
故选：D

点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|-|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．