Question

如图所示的两个同心圆盘均被n等分（n∈N^*，n≥2），在相重叠的扇形格中依次同时填上1，2，3，…，n，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，格中数之积的和为此位置的“旋转和”．
（Ⅰ）求2个不同位置的“旋转和”的和；当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形；
（Ⅱ）当n为偶数时，求n个不同位置的“旋转和”的最小值；
（Ⅲ）设n=4m（m∈N^*），在如图所示的初始位置将任意而对重叠的扇形格中的两数均改写为0，证明：当m≤4时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故可得n个不同位置的“旋转和”的和；
（Ⅱ）求出内盘中的1和外盘中的k同扇形格时的“旋转和”，当k＜

n+1

2

时，a_k+1＜a_k，当k＞

n+1

2

时，a_k+1＞a_k，所以k=

n

2

+1时，a

n

2

+1最小，即可求n个不同位置的“旋转和”的最小值；
（Ⅲ）利用反证法进行证明即可．

解答：（Ⅰ）解：由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故n个不同位置的“旋转和”的和为1×（1+2+…+n）+2×（1+2+…+n）+…+n×（1+2+…+n）=(1+2+…+n)×(1+2+…+n)=

n2(n+1)2

4

；  …（3分）
（Ⅱ）解：设内盘中的1和外盘中的k同扇形格时的“旋转和”为a_k
则a_k+1=1×（k+1）+2×（k+2）+…+（n-k）×n+（n-k+1）×1+…+n×ka_k
=1×k+2×（k+1）+…+（n-k）×（n-1）+（n-k+1）×n+…+n×（k-1）a_k+1-a_k
=1+2+…+（n-k）+（1-n）（n-k+1）+（n-k+2）+…+n
=(1+2+3+…+n)-n(n-k+1)=n(k-

n+1

2

)…（5分）
所以当k＜

n+1

2

时，a_k+1＜a_k，当k＞

n+1

2

时，a_k+1＞a_k，所以k=

n

2

+1时，a

n

2

+1最小
最小值a

n

2

+1=1×(

n

2

+1)+2×(

n

2

+2)+…+

n

2

×n+(

n

2

+1)×1+…+n×

n

2

=n(1+2+3+…+

n

2

)+2(12+22+…+

n2

4

)=

n(n+2)(5n+2)

24

；…（8分）
（Ⅲ）证明：将图中所有非0数改写为1，现假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为0，则此位置的“旋转和”必大于或等于2m+1，初始位置外的4m-1个位置的“旋转和”的和为（3m）²-3m，
则有（3m）²-3m≥（2m+1）（4m-1），即m2-5m+1≥0⇒m≥

5+ 21

2

，
这与m≤4矛盾，故命题得证．…（12分）

点评：本题给出新概念，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法，正确理解、转化题意是关键．