Question

已知

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

，求证

1

a7

+

1

b7

+

1

c7

=

1

a7+b7+c7

．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：证明题,综合法

分析：首先把已知等式通分变形得到a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+3abc=abc，然后分解因式得到a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+2abc=（a+b）（b+c）（a+c）=0，由此得到a+b，b+c，c+a中，至少有一个是0，接着得到当n为奇数时aⁿ+bⁿ，bⁿ+cⁿ，aⁿ+cⁿ至少有一个是0，最后证

1

a7

+

1

b7

+

1

c7

-

1

a7+b7+c7

=0即可，方法也是通分利用前面结论即可解决问题．

解答：证明：

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

，两边同时乘以abc （abc不等于0）得bc+ac+ab=

abc

a+b+c

，
两边同时乘以a+b+c得，
a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+3abc=abc，
∴a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+2abc=0，
∴a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+2abc=（a+b）（b+c）（a+c）=0，
∴a+b，b+c，c+a中，至少有一个是0，
故当n为奇数时aⁿ+bⁿ，bⁿ+cⁿ，aⁿ+cⁿ至少有一个是0，
∴

1

a7

+

1

b7

+

1

c7

-

1

a7+b7+c7

=

(a7+b7)(b7+c7)(a7+b7)

a7b7c7(a7+b7+c7)

=0．
∴

1

a7

+

1

b7

+

1

c7

=

1

a7+b7+c7

．

点评：本题考查了由分式等式向整式等式转化的方法，因式分解在整式变形中的作用．几个因式的积为0，这几个因式中至少有一个为0．