Question

是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y=tan（

π

4

-ax）在x∈（

π

8

，

5π

8

）上是单调递增的？若存在，求出a的一个值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：正切函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：假设存在实数a，且a∈Z，使得函数y=tan（

π

4

-ax）在x∈（

π

8

，

5π

8

）上是单调递增的，由正切函数的单调性可知：y=tanx在每一个开区间（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

），k∈Z上都是增函数，则a＜0，求出y=tan（

π

4

-ax）的增区间，再由集合的包含关系，令k=0，即可得到结论．

解答：解：假设存在实数a，且a∈Z，使得函数y=tan（

π

4

-ax）在x∈（

π

8

，

5π

8

）上是单调递增的，
由正切函数的单调性可知：y=tanx在每一个开区间（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

），k∈Z上都是增函数，
则a＜0，由kπ-

π

2

＜

π

4

-ax＜kπ+

π

2

，k∈Z，解得

kπ- 3π 4

-a

＜x＜

kπ+ π 4

-a

，
再由假设可得

kπ- 3π 4

-a

≤

π

8

＜

5π

8

≤

kπ+ π 4

-a

，
解得，当k=0时，-

2

5

≤a≤6．
所以存在实数a且a=-1，使得函数y=tan（

π

4

-ax）在x∈（

π

8

，

5π

8

）上是单调递增．

点评：本题主要考察了正切函数的图象和性质，属于中档题和易错题．