Question

命题p：△ABC及点G满足

GA

+

GB

+

GC

=0；命题q：G是△ABC的重心，则p是q的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要非充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分又不必要

Answer 1

分析：先判断充分性，由命题p成立，结合向量的运算法则和几何意义，推出

GA

=-2

GD

，得G为△ABC的重心；
推出命题q成立，故充分性成立．
再判断必要性，设G是△ABC的重心，由重心的性质得

GA

=-2

GD

，得出命题p中的等式成立，命题p成立，故必要性成立．

解答：解析：如图：充分性：取BC的中点D，连接GD，并延长至E，使|DE|=|GD|，则四边形BECG为平行四边形，
∴

GB

+

GC

=

GE

=2

GD

．又

GA

+

GB

+

GC

=0，
∴

GA

=-2

GD

，即G、A、D三点共线，且G为三等分点，故G为△ABC的重心；
必要性：设G是△ABC的重心，则G是△ABC的三边中线的交点，∴

GA

=-2

GD

，
又-2

GD

=-（

GB

+

GC

），∴

GA

+

GB

+

GC

=0．∴命题p成立，故必要性成立．
综上，则p是q的充要条件．

点评：本题考查向量运算的法则和几何意义，三角形重心的性质，充分条件、必要条件的判断．