Question

在边长为1的正三角形ABC中，向量

BD

=x

BA

，

CE

=y

CA

，x＞0，y＞0，且x+y=1，则

CD

•

BE

的最大值为

-

3

8

．

Answer 1

分析：建立平面直角坐标系，确定A，B，C的坐标，设点D，E坐标，由

BD

=x

BA

，得x₁；由

CE

=y

CA

，得x₂，y₂；计算

CD

•

BE

的值即可．

解答：解：建立如图所示的平面直角坐标系，则点A（-

1

2

，0），B（

1

2

，0），C（0，

3

2

）；
设点D（x₁，0），E（x₂，y₂），∵

BD

=x

BA

，∴（x₁-

1

2

，0）=x（-1，0），∴x₁=-x+

1

2

；
∵

CE

=y

CA

，∴（x₂，y₂-

3

2

）=y（-

1

2

，-

3

2

），∴x₂=-

1

2

y，y₂=

3

2

-

3

2

y；
∴

CD

•

BE

=（x₁，-

3

2

）•（x₂-

1

2

，y₂）=x₁（x₂-

1

2

）-

3

2

y₂=（-x+

1

2

）•（-

1

2

y-

1

2

）-

3

2

（

3

2

-

3

2

y）
=

1

2

xy+

1

2

（x+y）-1≤

1

2

•(

x+y

2

)2-

1

2

=-

3

8

，当且仅当x=y=

1

2

时取“=”；
故答案为：-

3

8

．

点评：本题考查了平面向量的坐标表示与数量积的运算性质和向量问题的基本解法，解题时要注意向量运算与数的运算区别，以免出错．