Question

函数y=f（x）=a^x+b满足f（0）=1且
（1）求f（x）的解析式．
（2）试判断函数y=f（x）的图象与直线y=x有无交点，并证明你的判断．

Answer 1

解：（1）f'（x）=a^xlna，依题意得f（0）=a⁰+b=1，
解得，
∴…（4分）
（2）函数y=f（x）的图象与直线y=x有两交点．…（6分）
证明：，
令g（x）=，
令g'（x）=0，解得x=3ln3
g'（x）＞0，解得x＞3ln3　　　　　
g'（x）＜0，得x＜3ln3
所以g（x）min=g（3ln3）=3-3ln3＜0…（9分）
显然g（6）═e²-6＞0，又g（x） 在（3ln3，+∞）上是增函数，
∴g（x）=在（3ln3，+∞）上有一个根．…（11分）
而g（-3）═e^-1+3＞0，又g（x） 在（-∞，3ln3）上是减函数，
∴g（x）=在（-∞，3ln3）上有一个根．…（13分）
综上所述函数y=f（x）的图象与直线y=x有两交点．…（14分）
分析：（1）先求出其导函数，再结合f（0）=1以及得到关于a和b的方程，求出a和b的值即可求f（x）的解析式；
（2）先根据条件把判断函数y=f（x）的图象与直线y=x有无交点问题转化为f（x）=x有无根的问题；再构造出函数出g（x）=，根据其导函数研究出其最值及其单调性即可的出结论．
点评：本题主要考查导函数的应用以及指数函数的综合问题．解决第二问的关键在于把判断函数y=f（x）的图象与直线y=x有无交点问题转化为方程f（x）=x有无根的问题．