Question

已知函数f（x）的定义域[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示

x	-1	0	2	4	5
F（x）	1	2	1.5	2	1

下列关于函数f（x）的命题；
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a最多有4个零点．
其中正确命题的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：由导函数的图象得出单调性和极值点，再由对应值表得出极值和最值，进而得出函数的值域，并画出图象．即可判断出答案．

解答：解：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象可看出：如表格，
由表格可知：函数f（x）在区间[-1，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，4）上单调递增，在区间（4，5]上单调递增．∴②正确．
∴函数f（x）在x=0和x=4时，分别取得极大值，在x=2时取得极小值，且由对应值表f（0）=2，f（2）=1.5，
f（4）=2，又f（-1）=1，f（5）=1．
∴函数f（x）的值域为[1，2]．∴①正确．
根据已知的对应值表及表格画出图象如下图：
③根据以上知识可得：当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，则t=0，或4．故③不正确．
④由图象可以看出：当1.5＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；当a=2时，函数y=f（x）-a有2个
3零点；当a=1.5时，函数y=f（x）-a有3个零点；当1≤a＜1.5时，函数y=f（x）-a有4个零点；
∴当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a最多有4个零点．故④正确．
综上可知①②④正确．
故答案为①②④．

点评：由导函数的图象和对应值表得出单调性、极值、最值及值域并画出图象是解题的关键．