Question

已知向量

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），

m

•

n

=-sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（1）求角C的大小；
（2）若三边a，c，b成等差数列，且

CA

•

BC

=18，求c边的长．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到其数量积为sin（A+B），又根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，得到结果为sinC，而已知数量积为-sin2C，两者相等，并利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinC不为0，两边同时除以sinC，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由三角形的三边a，c及b成等差数列，利用等差数列的性质得到2c=a+b，再利用平面向量的数量积运算法则及诱导公式化简

CA

•

BC

=18，将cosC的值代入求出ab的值，接着利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，根据完全平方公式变形后，将cosC，a+b，及ab代入得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答：解：（1）∵

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），
∴

m

•

n

=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
又A+B+C=π，即A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC，
∴

m

•

n

=sinC，又

m

•

n

=-sin2C，
∴-sin2C=sinC，即-2sinCcosC=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosC=-

1

2

，又C为三角形的内角，
∴C=

2π

3

；
（2）∵a，c，b成等差数列，
∴2c=a+b，
又

CA

•

BC

=abcos（π-C）=-abcosC=18，且cosC=-

1

2

，
∴ab=36，
∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-ab=（2c）²-36，
整理得：3c²=36，即c²=12，
则c=2

3

．

点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，等差数列的性质，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．