Question

若f（x）是在（-l，l）内的可导奇函数，且f′（x）不恒为0，则f′（x）（　　）

A．必为（-l，l）内的奇函数

B．必为（-l，l）内的偶函数

C．必为（-l，l）内的非奇非偶函数

D．可能为奇函数也可能为偶函数

Answer 1

分析：证明f′（x）是（-1，1）内的偶函数即证f′（-x）=f′（x），而函数f（x）没有解析式，故想到运用导数的定义进行证明．

解答：证明：对任意 x∈(-1，1)，f′(-x)=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

f[-(x-△x)]-f(-x)

△x

由于f（x）为奇函数，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是 f′（-x）=f′(-x)=

lim

△x→0

-f(x-△x)+f(x)

△x

=

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=f′(x)
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-1，1）内的偶函数．
故选B．

点评：本题考查导数的定义以及函数奇偶性的判断，关键是正确利用导数的定义，函数奇偶性的判断方法．