Question

已知函数f（x）=x²-ax+4+2lnx
（I）当a=5时，求f（x）的单调递减函数；
（Ⅱ）设直线l是曲线y=f（x）的切线，若l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率时切线l的方程；
（Ⅲ）若f（x）分别在x₁、x₂（x₁≠x₂）处取得极值，求证：f（x₁）+f（x₂）＜2．

Answer 1

分析：（I）当a=5时，利用导数求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）利用导数的几何意义，由切线l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率时切线l的方程；
（Ⅲ）利用导数求出函数的极值，利用极值证明不等式．

解答：解：（I）因为函数的定义域为{x|x＞0}，
当a=5时，f（x）=x²-5x+4+2lnx，f′(x)=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

=

2(x- 1 2 )(x-2)

x

，
所以由f'（x）＜0，解得

1

2

＜x＜2，
即函数的单调递减区间为（

1

2

，2）．
（Ⅱ）因为x＞0，所以f′(x)=2x+

2

x

-a≥2

4

-a=4-a，
当且仅当x=1时取等号．因为直线l的斜率存在最小值-2，
所以4-a=-2，即a=6．
当l取得最小斜率时，因为f（-1）=-1，即切点为（1，-1）．
从而切线方程l：y+1=-2（x-1），即：2x+y-1=0．
（Ⅲ）f′(x)=2x+

2

x

-a=

2x2-ax+2

x

，
因为f（x）分别在x₁、x₂（x₁≠x₂）处取得极值，
所以x₁、x₂（x₁≠x₂）是方程

2x2-ax+2

x

=0，
即2x²-ax+2=0的两个不等正根．
则△=a²-16＞0解得a²＞16，且x1+x2=

a

2

，x1x2=1．
从而f（x₁）+f（x₂）=

x

2 1

+

x

2 2

-a(x1+x2)+8+2ln?(x1x2)
=(x1+x2)2-2x1x2-a(x1+x2)+8+2ln?(x1x2)
=(

a

2

)2-2×1-a×

a

2

+8+2ln1=-

a2

4

+6，
因为a²＞16，所以-

a2

4

+6＜2．
即不等式f（x₁）+f（x₂）＜2成立．

点评：本题主要考查导数与函数的极值之间的关系，运算量较大．