Question

5．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=2，S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2（n∈N^*），则S_n的取值范围是（　　）

• A． （2，4]
• B． [2，4）
• C． [2，4]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 a₁=2，S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2（n∈N^*），变形为S_n+1-4=$\frac{1}{2}$（S_n-4），利用等比数列的通项公式可得S_n，再利用数列的单调性与指数函数的单调性即可得出．

解答 解：∵a₁=2，S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2（n∈N^*），
∴S_n+1-4=$\frac{1}{2}$（S_n-4），
∴数列{S_n-4}是等比数列，首项为-2，公比为$\frac{1}{2}$，
∴S_n-4=$-2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴S_n=4$-2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=4-$（\frac{1}{2}）^{n-2}$∈[2，4），
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列的单调性与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．