Question

若函数f(x)=

2a+1

a

-

1

a2x

(a＞0)的定义域和值域都是[m，n]（0＜m＜n），则常数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意f（x）是增函数，且定义域和值域都是[m，n]（0＜m＜n），得

f(m)=m f(n)=n

，即方程

2a+1

a

-

1

a2m

=m有二不等实根，△＞0，解得a的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=

2a+1

a

-

1

a2x

(a＞0)在（0，+∞）上是增函数，且定义域和值域都是[m，n]（0＜m＜n），
∴

f(m)=m f(n)=n

，即

2a+1 a - 1 a2m =m 2a+1 a - 1 a2n =n

；
由

2a+1

a

-

1

a2m

=m，得a²m²-a（2a+1）m+1=0；
该一元二次方程有二不等实根，
∴△=a²（2a+1）²-4a²＞0，
即（2a+1）²-4＞0，
∴4a²+4a-3＞0，
解得a＞

1

2

，或a＜-

3

2

（舍去）；
∴a的取值范围是{a|a＞

1

2

}；
故答案为：{a|a＞

1

2

}．

点评：本题通过函数的定义域和值域的求法，考查了一元二次不等式的解法问题，是易错题．