Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

（1）求f（x）最小正周期，函数取得最小值，最大值的变量x集合．
（2）求函数单调区间．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由二倍角公式化简解析式可得f（x）=sin（2x-

π

3

）+

1

2

，根据正弦函数的性质即可求f（x）最小正周期，函数取得最小值，最大值的变量x集合．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数单调区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x=sin（2x-

π

3

）+

1

2

∴T=

2π

2

=π
∴由2x-

π

3

=2kπ+

π

2

解得：x=kπ+

5π

12

，k∈Z．由2x-

π

3

=2kπ+

3π

2

解得：x=kπ+

11π

12

，k∈Z．
∴可得：当x=kπ+

5π

12

，k∈Z时，f（x）_max=

3

2

；当x=kπ+

11π

12

，k∈Z时，f（x）_min=-

1

2

（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z．
故函数单调区间是：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．

点评：本题主要考察了三角函数的周期性及其求法，二倍角公式的应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．