Question

选作题：考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
A 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．
（I）证明：△ABE∽△ADC
（II）若△ABC的面积S=

1

2

AD•AE，求∠BAC的大小．
B 已知曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C3：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数）距离的最小值．                
C 已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：A（Ⅰ）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积S=

1

2

AD•AE转化为S=

1

2

AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．
B（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C₁表示一个圆；曲线C₂表示一个椭圆；
（2）把t的值代入曲线C₁的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C₂的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．
C（Ⅰ）由f（x）=|x-a|，不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，知|x-a|≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，由此能求出a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，等价于|x-2|+|x+3|≥m对一切实数x恒成立．由此能求出实数m的取值范围．

解答：A（Ⅰ）证明：由已知△ABC的角平分线为AD，
可得∠BAE=∠CAD
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
解：（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，
所以

AB

AE

=

AD

AC

，
即AB•AC=AD•AE．
又S=

1

2

AB•ACsin∠BAC，
且S=

1

2

AD•AE，
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC=90°．
B解：（1）把曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数）化为普通方程得：（x+4）²+（y-3）²=1，
所以此曲线表示的曲线为圆心（-4，3），半径1的圆；
把C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数）化为普通方程得：

x2

64

+

y2

9

=1，
所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；
（2）把t=

π

2

代入到曲线C₁的参数方程得：P（-4，4），
把直线C₃：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数）化为普通方程得：x-2y-7=0，
设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ）
所以M到直线的距离d=

|4cosθ-3sinθ-13|

5

=

|5sin(α-θ)-13|

5

，（其中sinα=

4

5

，cosα=

3

5

）
从而当cosθ=

4

5

，sinθ=-

3

5

时，d取得最小值

8 5

5

．
C解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-a|，不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，
∴|x-a|≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，
∵由|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，
∴

a-3=-1 a+3=5

，解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=|x-2|，
∵f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，
∴|x-2|+|x+3|≥m对一切实数x恒成立．
设y=|x-2|+|x+3|，
由x-2=0，得x=2；由x+3=0，得x=-3．
①当x≥2时，y=x-2+x+3=2x+1≥5；
②当-3≤x＜2时，y=2-x+x+3=5；
③当x＜-3时，y=2-x-x-3=-2x-1＞5．
综上所述，y=|x-2|+|x+3|≥5．
∴若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，则m≤5．
故实数m的取值范围是（-∞，5]．

点评：A考查与圆有关的比例线段的应用，B考查参数方程的应用，C考查含绝对值不等式的解法．它们都是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．