Question

设a，b是两个实数，
A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，
B={（x，y）|x=m，y=3m²+15，m是整数}，
C={（x，y）|x²+y²≤144}，
是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同时成立．

Answer 1

分析：A、B、C是点的集合，由y=na+b和y=3m²+15想到直线和抛物线．
A∩B≠φ表示直线和抛物线有公共点，
故只需联力方程，△≥0得a，b的关系式，
再考虑与集合C中x²+y²≤144表示的以原点为圆心，以12为半径的圆及内部点的关系即可．

解答：解：据题意，知
A={（x，y）|x=n，y=an+b，n∈Z}
B={（x，y）|x=m，y=3m^2+15，m∈Z}
假设存在实数a，b，使得A∩B≠?成立，则方程组
y=ax+b
y=3x²+15 有解，且x∈Z．
消去y，方程组化为 3x²-ax+15-b=0．①
∵方程①有解，
∴△=a²-12（15-b）≥0．
∴-a²≤12b-180．②
又由（2），得 a²+b²≤144．③
由②+③，得 b²≤12b-36．
∴（b-6）²≤0
∴b=6．
代入②，得 a²≥108．
代入③，得 a²≤108．
∴a²=108．a=±6√3
将a=±6

3

，b=6代入方程①，得
3x²±6

3

x+9=0．
解之得 x=±

3

，与x∈Z矛盾．
∴不存在实数a，b使（1）（2）同时成立．

点评：此题以集合为背景考查直线和抛物线的位置关系，以及圆等知识，综合性较强．