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设函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值;
(3)若方程f(x)=c有两个不相等的实数根x1、x2,求证:f′>0.
(1)单调增区间为,单调减区间为(2)3(3)见解析
(1)解:f′(x)=2x-(a-2)- (x>0).
当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).
当a>0时,由f′(x)>0,得x> ;由f′(x)<0,得0<x< .
所以函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为.
(2)解:由(1)得,若函数f(x)有两个零点,则a>0,且f(x)的最小值f <0,即-a2+4a-4aln <0.因为a>0,所以a+4ln-4>0.
令h(a)=a+4ln-4,显然h(a)在(0,+∞)上为增函数,且h(2)=-2<0,h(3)=4ln -1=ln-1>0,所以存在a0∈(2,3),h(a0)=0.
当a>a0时,h(a)>0;当0<a<a0时,h(a)<0.所以满足条件的最小正整数a=3.
又当a=3时,f(3)=3(2-ln3)>0,f(1)=0,所以a=3时,f(x)有两个零点.
综上所述,满足条件的最小正整数a的值为3.
(3)证明:因为x1、x2是方程f(x)=c的两个不等实根,由(1)知a>0.
不妨设0<x1<x2,则-(a-2)x1-alnx1=c,-(a-2)x2-alnx2=c.
两式相减得-(a-2)x1-alnx1+(a-2)·x2+alnx2=0,
+2x1-2x2=ax1+alnx1-ax2-alnx2=a(x1+lnx1-x2-lnx2).
所以a=.
因为f′=0,当x∈时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0,
故只要证> 即可,即证明x1+x2>
即证明+(x1+x2)(lnx1-lnx2)< +2x1-2x2
即证明ln <.设t= (0<t<1).
令g(t)=lnt-,则g′(t)=.
因为t>0,所以g′(t)≥0,当且仅当t=1时,g′(t)=0,
所以g(t)在(0,+∞)上是增函数.
又g(1)=0,所以当t∈(0,1),g(t)<0总成立.所以原题得证.
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