Question

已知函数，函数是函数的导函数.
（1）若，求的单调减区间；
（2）若对任意，且，都有，求实数的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数的范围内，若存在一个与有关的负数，使得对任意时恒成立，求的最小值及相应的值.

Answer 1

（1）单调减区间为（2）（3）当时，的最小值为

（1）当时，， ……………1分
由解得 ………………2分
当时函数的单调减区间为；…………3分
（2）易知
依题意知

……………………………………………………5分
因为，所以，即实数的取值范围是 ；…………6分
（3）解法一：易知，.
显然，由（2）知抛物线的对称轴…………7分
①当即时，且
令解得………………8分
此时取较大的根，即 ……………9分
，  …………………10分
②当即时，且
令解得………………11分
此时取较小的根，即…………12分
， 当且仅当时取等号……13分
由于，所以当时，取得最小值 ………………14分
解法二：对任意时，“恒成立”等价于“且”
由（2）可知实数的取值范围是
故的图象是开口向上，对称轴的抛物线…7分

①当时，在区间上单调递增，
∴，
要使最小，只需要
………8分
若即时，无解
若即时，………………9分

解得（舍去） 或
故（当且仅当时取等号）…………10分
②当时，在区间上单调递减，在递增， 
则，…………………11分
要使最小，则即
 ………………………………………………………12分
解得（舍去）
或（当且仅当时取等号）…13分
综上所述，当时，的最小值为.………………………………14分