Question

设，函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若，写出函数的单调区间（不必证明）；
（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）9（2）单调递增区间是和，单调递减区间是（3）

（1）当，时，

作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为．…………（4分）
（2）……（1分）
①当时，，
因为，所以，
所以在上单调递增．…………（3分）
②当时，，
因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减．…………（5分）
综上，函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是．………………（6分）
（3）①当时，，，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）
②当时，由（1）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解．
即．…………（5分）
令，在时是增函数，故．…………（7分）
所以，实数的取值范围是．…………（8分）