Question

9．若$\overrightarrow{AB}$=（x，y），x∈{0，1，2}，y∈{-2，0，1），$\vec a$=（1，-1），则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为锐角的概率是$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 由此结合题中数据得到x＞y且x+y≠0，再计算出所有（x，y）的取法，和符合条件的（x，y）的取法，用随机事件的概率公式可算出所求的概率．

解答 解：设$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{a}$的夹角θ，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为锐角，即θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{a}$|cosθ＞0
∵$\overrightarrow{AB}$=（x，y），$\vec a$=（1，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=x-y＞0，同时$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{a}$的不平行，得x+y≠0，
∵x∈{0，1，2}，y∈{-2，0，1），
∴x，y的所有取法有3×3=9种，
其中x＞y且x+y≠0的取法有：（0，-2），（1，-2），（1，0），（2，0），（2，1），共5种情况，
故则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为锐角的概率是$\frac{5}{9}$，
故答案为：$\frac{5}{9}$．

点评 本题以随机事件的概率的计算为载体，考查了向量数量积的计算公式和两向量夹锐角角的充要条件等知识，属于基础题．