Question

已知椭圆C：的离心率，且右焦点F到左准线的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）又已知点A为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，直线FA与椭圆C的交点B在y轴的左侧，且满足，求p的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由离心率得出，然后根据右焦点到左准线的距离d=，就可以求出椭圆方程；
（2）先设B点坐标，然后根据，表示出A点坐标，并代入抛物线方程得出，再令t=x+2，用的含p式子表示p，
解答：解：（1）∵的离心率，∴．①
而右焦点到左准线的距离d=．②
由①②解得a=，c=1，从而b=1．
从而所求椭圆方程为（6分）
（2）椭圆的右焦点为F（1，0），点B在椭圆（x＜0）上．
设B（x，y），其中，
由，知，．
由点A在抛物线y²=2px上，得．
又，∴．令t=x+2，则．
即．
∵，
∴（当且仅当时取“=”）．
∴．
又当时，为椭圆在y轴左侧上的点．
故p的最大值为．（14分）
点评：本题考查了椭圆的简单性质以及椭圆与抛物线的综合，巧用a+b≥2是解决（2）问的关键，属于中档题．