Question

已知f(x)=|

1

|x-1|-1

|，且关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有k（k∈N^*）个根，则这k个根的和可能是

2、3、4、5、6、7、8

．（请写出所有可能值）

Answer 1

分析：关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有根，则方程t²+bt+c=0必有正根，根据绝对值的性质，我们分别讨论若方程t²+bt+c=0有两个相等的正根α，且0＜α＜1时，α=1时，α=1时；
若方程t²+bt+c=0有两个不等的正根α，β，且0＜α＜1，0＜α＜1，β=1时，0＜α＜1，β＞1时，α=1，0＜β＜1时，α=1，β=1时，α=1，β＞1时，α＞1，0＜β＜1时，α＞1，β=1时，α＞1，β＞1时，方程根的个数及和的值，即可得到答案．

解答：解：若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有k（k∈N^*）个根，
令t=f（x），则方程t²+bt+c=0必有正根
若方程t²+bt+c=0有两个相等的正根α
当0＜α＜1时，f(x)=|

1

|x-1|-1

|=α，|x-1|=1+

1

α

，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有2个根，2根之和为2；
当α=1时，f(x)=|

1

|x-1|-1

|=1，|x-1|=2，或|x-1|=0，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个根，3根之和为3；
当α=1时，f(x)=|

1

|x-1|-1

|=α，|x-1|=1±

1

α

，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有4个根，4根之和为4；
若方程t²+bt+c=0有两个不等的正根α，β
当0＜α＜1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有4个根，4根之和为4；
当0＜α＜1，β=1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个根，5根之和为5；
当0＜α＜1，β＞1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α=1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个根，5根之和为5；
当α=1，β=1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α=1，β＞1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个根，7根之和为7；
当α＞1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α＞1，β=1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个根，7根之和为7；
当α＞1，β＞1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有8个根，8根之和为8；
故答案为：2、3、4、5、6、7、8

点评：本题考查的知识点是带绝对值的函数，函数的零点与方程根的关系，其中分类讨论是解答此类复杂问题最常用的方法，而本题中根据函数的解析式，确定分类标准是解答本题的关键．