Question

已知f(x)=

1+cosx-sinx

1-sinx-cosx

+

1-cosx-sinx

1-sinx+cosx

．  
（1）化简f（x）；
（2）如果f(x)•tan

x

2

=

1+tan2 x 2

sinx

，求出x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化简1+cosx-sinx与1-cosx-sinx，然后求解f(x)=

1+cosx-sinx

1-sinx-cosx

+

1-cosx-sinx

1-sinx+cosx

的最简形式．
（2）函数f（x）代入方程，好求出tanx的值，然后求出x即可．

解答：（1）由于1+cosx-sinx=2cos2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=2cos

x

2

•(cos

x

2

-sin

x

2

)，
1-cosx-sinx=2sin2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=2sin

x

2

•(sin

x

2

-cos

x

2

)，
则 f(x)=

1+cosx-sinx

1-sinx-cosx

+

1-cosx-sinx

1-sinx+cosx

=

2cos x 2 •(cos x 2 -sin x 2 )

2sin x 2 •(sin x 2 -cos x 2 )

+

2sin x 2 •(sin x 2 -cos x 2 )

2cos x 2 •(-sin x 2 +cos x 2 )

=-

cos x 2

sin x 2

-

sin x 2

cos x 2

=-

2

sinx

．
（2）f(x)•tan

x

2

=

1+tan2 x 2

sinx

，-

2

sinx

•tan

x

2

=

1+tan2 x 2

sinx

，-2tan

x

2

=1+tan2

x

2

所以tan

x

2

=-1，x=2kπ-

π

2

(k∈Z)

点评：本题考查三角函数的二倍角公式的应用，三角方程的解法，注意恒等变形，考查计算能力．