Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为F（2，0），点P的坐标为（m，0）（m≠0），设过点P的直线l交抛物线C于A，B两点，点P关于原点的对称点为点Q．
（1）当直线l的斜率为1时，求△QAB的面积关于m的函数表达式．
（2）试问在x轴上是否存在一定点T，使得TA，TB与x轴所成的锐角相等？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将抛物线C的方程y²=8x与直线l的方程y=x-m联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理求得弦|AB|，从而可求得△QAB的面积关于m的函数表达式；
（2）将y=k（x-m）与y²=8x联立，设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），设点T（t，0）存在，由TA，TB与x轴所成的锐角相等可得k_TA+k_TB=0，利用韦达定理，即可求得t=-m．

解答：解：（1）由条件知，抛物线C的方程为y²=8x，直线l的方程为y=x-m，点Q（-m，0），
由

y=x-m y2=8x

得：x²-2（m+4）x+m²=0．①
由①式判别式△＞0，得m＞-2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2（m+4），x₁x₂=m²，
|AB|=

1+12

|x₁-x₂|=

2

4(m+4)2-4m2

=8

m+2

．
又∵点Q（-m，0）到直线l₁的距离d=

2

|m|，
∴S_△QAB=

1

2

2

|m|•8

m+2

=4

2

m3+2m2

，其中m＞-2且m≠0…7
（2）方程为y=k（x-m），由

y=k(x-m) y2=8x

得：k²x²-2（mk²+4）x+k²m²=0．②
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），则x₃+x₄=

2mk2+8

k2

，x₃x₄=m²．
设点T（t，0）存在，TA，TB与x轴所成的锐角相等，k_TA+k_TB=0，

y3

x3-t

+

y4

x4-t

=0，
即

k(x3-m)

x3-t

+

k(x4-m)

x4-t

=0，
整理得：2x₃x₄-（m+t）（x₃+x₄）+2mt=0，
∴2m²-（m+t）

2mk2+8

k2

+2mt=0，
∴t=-m．
∴符合条件的点T存在，其坐标为T（-m，0）…15

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查曲线方程的联立，韦达定理的使用，弦长公式的应用，突出考查化归思想与方程思想，属于难题．