Question

过双曲线x²-y²=1上一点Q作直线x+y=2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为（ ）
A．2x²-2y²-2x-1=0
B．x²+y²=1
C．2x²+2y²-y=0
D．2x²-2y²-2x+2y-1=0

Answer 1

【答案】分析：设P（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标间的关系，根据垂线的关系及点Q在双曲线上，代入其方程即可得到．
解答：解：设P（x，y），Q（x₁，y₁），则N（2x-x₁，2y-y₁），
∵N在直线x+y=2上，
∴2x-x₁+2y-y₁=2①
又∵PQ垂直于直线x+y=2，∴=1，
即x-y+y₁-x₁=0．②
由①②得，
又∵Q在双曲线x²-y²=1上，
∴x₁²-y₁²=1．
∴（x+y-1）²-（x+y-1）²=1．
整理，得2x²-2y²-2x+2y-1=0即为中点P的轨迹方程．
故选D．
点评：本题主要考查了轨迹方程的问题．求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．