Question

已知a＞0，函数f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，当x∈[0，

π

2

]时，-5≤f（x）≤1
（1）求常数a，b的值；
（2）设g(x)=f(x+

π

2

)且lgg（x）＞0，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由x∈[0，

π

2

]时，利用正弦函数的定义域和值域求得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，可得 b≤f（x）≤3a+b．再根据-5≤f（x）≤1，求得a和b的值．
（2）由（1）可得，g(x)=f(x+

π

2

)=4sin（2x+

π

6

）-1．由lgg（x）＞0，可得sin（2x+

π

6

）＞

1

2

，再根据 2kπ+

π

6

＜2x+

π

6

＜2kπ+

5π

6

，以及2kπ+

π

6

＜2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数g（x）的增区间．

解答：解：（1）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
再由函数f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，可得 b≤f（x）≤3a+b．
再根据-5≤f（x）≤1，可得b=-5，且 3a+b=1，
∴a=2，且 b=-5．
（2）由（1）可得，f（x）=-4sin（2x+

π

6

）-1，
故g(x)=f(x+

π

2

)=-4sin（2x+

7π

6

）-1=4sin（2x+

π

6

）-1．
由lgg（x）＞0，可得g（x）＞1，∴sin（2x+

π

6

）＞

1

2

，∴2kπ+

π

6

＜2x+

π

6

＜2kπ+

5π

6

，k∈z，
解得 kπ＜x≤kπ+

π

3

，k∈z ①．
再根据 2kπ+

π

6

＜2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ＜x≤kπ+

π

6

，k∈z ②，
综合①②可得，函数g（x）的增区间为 （kπ，kπ+

π

6

]，k∈z．

点评：本题主要正弦函数的定义域和值域、正弦函数的单调性，属于中档题．