Question

设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点． (1) 若椭圆C上的点A(1，)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标 (2) 设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程 (3) 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kpM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2． 　　又点A(1，)在椭圆上，因此＋＝1，得b2＝3，于是c2＝1． 　　所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(2)	设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y． 　　因此＋＝1，即(x＋)2＋＝1为所求的轨迹方程．
(3)	类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值． 　　设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中－＝1． 　　又设点P的坐标为(x，y)，由kPM＝，kPN＝，得kPM·kPN＝·＝，将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得kPM·kPN＝． 　　点评：本题主要考查椭圆的基本知识及求动点轨迹方程的常用方法．第(3)问对考生的联想、类比、逻辑思维及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向．应引起注意．