Question

7．直线x+y-3=0与圆x²+y²-3x+my+m²=0有两个交点P、Q．若斜率k_OP+k_OQ=1（O为原点）．则实数m的值为0．

Answer 1

分析 设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），把直线x+y-3=0与圆x²+y²-3x+my+m²=0联立，利用韦达定理求得x₁+x₂ 和x₁•x₂，再利用k_OP+k_OQ=1，x₁•y₂+y₁•x₂=x₁x₂，求得m的值．

解答 解：设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），把直线x+y-3=0与圆x²+y²-3x+my+m²=0联立可得
2x²+（-m-9）x+m²+3m+9=0，∴x₁+x₂=$\frac{m+9}{2}$，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}+3m+9}{2}$．
∵k_OP+k_OQ=1，
∴x₁•y₂+y₁•x₂=x₁x₂，
∴x₁•x₂=x₁+x₂，
∴$\frac{{m}^{2}+3m+9}{2}$=$\frac{m+9}{2}$
∴m=0或-2．
经检验，m=0都符合题意．
故答案为：0．

点评 本题主要考查圆的一般方程，韦达定理，直线与圆的位置关系，属于中档题．