Question

【题目】如图， 是 直径， 所在的平面， 是圆周上不同于 的动点.

（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且当二面角 的正切值为 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ 在圆 上， 为圆 的直径，
∴ ，
又∵ 所在的平面，∴ ，
而 ，∴ 平面 ，
由于 平面 ，∴平面 平面
（2）解：如图，过 作 于 ，连接 ，

∵ 平面 ，∴ ，
∴ 平面 ，则 即为所求的角，
∵ 平面 ，
∴ 为二面角 的平面角．
又 ， ，∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
即直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．
【解析】(1)根据题意首先利用圆的性质可得 B C ⊥ AC，利用线面垂直可得 B C ⊥ P A再根据线面垂直的判定定理即可得出B C ⊥ 平面 P A C 然后即可得出面面垂直。(2)首先根据二面角的定义可得二面角的平面角 ∠ P C A，再根据题意作出辅助线进而得出直线AB与平面PBC所成的角在结合解三角形的知识即可得出结论。
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和直线与平面垂直的性质，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题．