Question

【题目】已知p：|x﹣a|＜3（a为常数）；q：代数式 有意义．
（1）若a=1，求使“p∧q”为真命题的实数x的取值范围；
（2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：p：|x﹣a|＜3等价于：﹣3＜x﹣a＜3即a﹣3＜x＜a+3；

q：代数式 有意义等价于：

，即﹣1≤x＜6

a=1时，p即为﹣2＜x＜4

若“p∧q”为真命题，则 ，得：﹣1≤x＜4

故a=1时，使“p∧q”为真命题的实数x的取值范围是[﹣1，4）

（2）解：记集合A={x|a﹣3＜x＜a+3}，B={x|﹣1≤x＜6}

若p是q成立的充分不必要条件，则AB，

因此： ，

∴2≤a≤3，故实数a的取值范围是[2，3]．

【解析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用p是q的充分不必要条件，建立不等式关系即可求实数a的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用复合命题的真假的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．