Question

如图，PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F（1）求证：PB⊥平面EFD；（2）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

（1）因为PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，
所以PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，四边形ABCD是正方形，BC⊥CD，
所以BC⊥平面PDC，又DE?平面PDC，
所以DE⊥BC，因为PD=DC，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，
于是DE⊥平面PBC，有DE⊥PB，由EF⊥PB，EF∩DE=E，
得PB⊥平面EFD．
（2）由（1）知，PB⊥平面EFD，所以PB⊥DF，∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，
设PD=DC=a，有DE=

2

2

a，
在Rt△PDB中，DF=

PD•DB

PB

=

6

3

a，
在Rt△PCB中，

EF

BC

=

PE

PB

，
得EF=

6

6

a，
于是cos∠EFD=

EF2+DF2-DE2

2EF•DF

=

1

2

，
所以∠EFD=60°．于是二面角C-PB-D的大小为60^°．