【题目】有下列四个命题：（1）一定存在直线
，使函数
的图像与函数
的图像关于直线对称；（2）不等式：
的解集为
；（3）已知数列
的前
项和为
，
，则数列一定是等比数列；（4）过抛物线
上的任意一点
的切线方程一定可以表示为
.则正确命题的序号为_________________.
【答案】（3）（4）
【解析】
（1）中，可利用函数
与
关于
轴对称进行判定；
（2）中，利用反三角函数的定义，直接求出符合条件的解集，即可判定；
（3）利用
求得数列的通项公式，即可判定；
（4）利用直线
过点
，且与抛物线
有且仅有一个交点，即可判定.
对于（1）中，由函数与关于轴对称，而函数
的图像与函数
的图象向上平移的幅度不一样，所以它们不关于轴对称，所以找不到这样的直线满足题意，所以不正确；
对于（2）中，因为
时，
，
所以不等式
的解集为
是不正确的；
对于（3）中，由
，当
时，
，满足上式，
所以数列
是一个等比数列，
所以数列
的前
项和为
，
，则数列一定是等比数列是正确的；
对于（4）中，由直线过点，且与抛物线有且仅有一个交点，所以过抛物线上的任意一点的切线方程一定可以表示为是正确的.
故答案为：（3）（4）.
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【题目】下列命题中：①若“
”是“
”的充要条件；
②若“
，
”，则实数
的取值范围是
；
③已知平面
、
、
，直线
、
，若
，
，
，
，则
；
④函数
的所有零点存在区间是
.
其中正确的个数是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】现定义：设
是非零实常数，若对于任意的
，都有
，则称函数
为“关于的偶型函数”
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明
（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间
上单调递增，求证在区间
上单调递减
（3）设定义域为
的“关于
的偶型函数”是奇函数，若
，请猜测
的值，并用数学归纳法证明你的结论
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【题目】在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.
（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；
（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.
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【题目】某学生对函数
的性质进行研究，得出如下的结论：
函数在
上单调递减，在
上单调递增；
点
是函数图象的一个对称中心；
函数图象关于直线
对称；
存在常数
，使
对一切实数x均成立，
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为
，第二种检测不合格的概率为
，两种检测是否合格相互独立．
（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；
（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利
元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量
表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．
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【题目】如图，在四棱锥
中，平面
平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
，
，
，O是AD的中点.
（1）在线段PA上找一点E，使得
平面PCD，并证明；
（2）在（1）的条件下，若
，求平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值.
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