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设函数y=log3(x2+ax+10)
(1)a=6时,求函数的值域
(2)若函数的定义域为R,求a的取值范围.
分析:(1)先利用二次函数的性质求真数的范围,利用对数函数的单调性求出f(x)的值域.
(2)由题意可得,2x2-8x+m>0恒成立,则△=64-8m<0,解不等式可求m的范围.
解答:解:(1)当a=6时,函数y=log3(x2+6x+10),令t=x2+6x+10
t=x2+6x+10=(x+3)2+1≥1,
∵底数3>1,
∴f(x)的最小值为log31=0,故f(x)的值域为[0,+∞).
(2)由题意可得,x2+ax+10>0恒成立
∴△=a2-40<0
∴-2
10
<a<2
10

故a的取值范围:-2
10
<a<2
10
点评:本题考查对数函数图象与性质的综合应用、利用对数函数的单调性求函数的最值,考查了对数函数的恒成立问题,主要结合了二次函数的性质,要主要区别:若该函数的值域为R?△≥0.
练习册系列答案
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ax
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②f(x)=|x|(x∈R),x=log3(t2+1),(t∈R),则x=g(t)是f(x)的一个等值域变换;
③若f(x)=x2-x+1,x∈R,x=g(t)=2t,t∈R,则x=g(t)是f(x)的一个等值域变换;
④设f(x)=log2x(x>0),若x=g(t)=5t+5-t+m是y=f(x)的一个等值域变换,且函数f(g(t))的定义域为R,则m的取值范围是m≤-2.
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1
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33
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