Question

设命题p：函数f(x)=x2-2ax与g(x)=x+

a

x

在区间[1，2]都是减函数．
命题q：函数y=log₃（x²-2x+a）值域A⊆[2，+∞）．
若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：若p∨q为真，p∧q为假即p与q一真一假，先求出p和q都是真时a的范围，再分p真q假和p假q真两种情况处理．

解答：解：设命题p：函数f（x）=x²-2ax在区间[1，2]是减函数，所以f（x）的对称轴x=a≥2；
函数g(x)=x+

a

x

在区间[1，2]是减函数，g′(x)=1-

a

x2

≤0在区间[1，2]上恒成立，
所以a≥x²在区间[1，2]上恒成立，只要a≥4即可．
所以命题p为真时a≥4；p为假时，a＜4．
命题q：函数y=log₃（x²-2x+a）值域A⊆[2，+∞），
∴x²-2x+a≥9很成立，只要（x²-2x+a）_min≥9．
而（x²-2x+a）_min=a-1，∴a-1≥9，a≥10
所以命题q为真时，a≥10，q为假时，a＜10．
若p∨q为真，p∧q为假即p与q一真一假．
当p真q假时a≥4且a＜10解得10＞a≥4；
当p假q真时a＜4且a≥10此时a无解．
综上所述，a的取值范围是[4，10）．

点评：本题以复合命题的真假考查已知函数单调性求参数范围问题和对数型函数的值域问题．
二次函数单调性考虑对称轴，其他比较复杂的函数单调性常用导数，转化为导函数≥0或≤0恒成立．