Question

设命题p：函数f(x)=

a

x

(a＞0)在区间（1，2）上单调递增；命题q：不等式|x-1|-|x+2|＜4a对任意x∈R都成立，若pVq是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A．

  3

  4

  ＜a＜1
• B．a＞

  3

  4

• C．0＜a＜

  3

  4

• D．a＞

  1

  4

Answer 1

分析：根据反比例函数的性质知命题p必为假，再通过绝对值的集合意义求出|x-1|-|x+2|的最小值，令最小值小于0，求出a的范围，即命题q为真命题时a的范围；有复合命题的真假判断出q的真假情况，求出a的范围．

解答：解：∵当a＞0时，函数f(x)=

a

x

(a＞0)在区间（1，2）上单调递减，
∴p假．
∵不等式|x-1|-|x+2|＜4a对任意x∈R都成立，
所以|x-1|-|x+2|的最大值3小于4a即可．
所以3＜4a，
所以a＞

3

4

，
即若q真则有a＞

3

4

，
∵“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，
∴p，q中有一个真一个假，
即p假q真，有

a＞0 a＞ 3 4

即a＞

3

4

故若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围a＞

3

4

故选B．

点评：本题主要考查了恒成立问题、复合命题的真假．解决复合函数的真假问题常转化为构成其简单命题的真假问题解．