Question

如图，已知多面体ABCDE中，DE⊥平面DBC，DE∥AB，BD=CD=BC=AB=2，F为BC的中点．
（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABC；
（Ⅱ）求点D到平面EBC的距离的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的性质，得到线线垂直，再利用线面垂直的判定，可得DF⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明平面DEF⊥平面EBC，连接EF，过D作DH⊥EF，垂足为H，可得线段DH的长即为点D到平面EBC的距离，表示出DH，即可确定其范围．

解答：（Ⅰ）证明：∵DE⊥平面DBC，DE∥AB，∴AB⊥平面DBC，
∵DF?平面DBC，∴AB⊥DF
∵BD=CD=BC=2，F为BC的中点
∴DF⊥BC
又∵AB∩BC=B
∴DF⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：设DE=x，连接BE，则x＞0
∵DE⊥平面DBC，BC?平面DBC，∴DE⊥BC
∵DF⊥BC，DE∩DF=D
∴BC⊥平面DEF
∵BC?平面ABC
∴平面DEF⊥平面EBC
连接EF，过D作DH⊥EF，垂足为H，
则DH⊥平面EBC，线段DH的长即为点D到平面EBC的距离
在直角△DEF中，DE=x，DF=

3

2

BC=

3

，∴EF=

3+x2

∴DH=

3 x

3+x2

=

3

1+ 3 x2

∈（0，

3

）．

点评：本题考查线面垂直的性质与判定，考查点面距离的计算，属于中档题．