Question

（2012•洛阳模拟）已知f(x)=ax+

b

x

+2-2a(a＞0)的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，根据f(x)=ax+

b

x

+2-2a(a＞0)的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2，可得a，b满足的关系式；
（2）令g(x)=f(x)-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞)，求导函数，确定函数的单调性，进而可求a的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=a-

b

x2

，
根据题意f(x)=ax+

b

x

+2-2a(a＞0)的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2．
∴f′（1）=a-b=2
∴b=a-2
（2）由（1）知，f(x)=ax+

a-2

x

+2-2a(a＞0)，
令g(x)=f(x)-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞)
则g（1）=0，g′(x)=a-

a-2

x2

-

2

x

=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

①当0＜a＜1时，

2-a

a

＞1，
若1＜x＜

2-a

a

，则g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．
②a≥1时，

2-a

a

≤1，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，同时考查分类讨论的数学思想．