Question

求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6;

(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6且cos∠OFA=;

(4)椭圆过(3,0),离心率e=.

Answer 1

解:(1)设椭圆的标准方程为

由已知a=2b,

且椭圆过点(2,-6),                                                  ①

从而有                            ②

由①②,得a²=148,b²=37或a²=52,b²=13,

故所求的方程为

(2)如图所示,

△A₁FA₂为一等腰直角三角形,OF为斜边A₁A₂的中线(高),且OF=c,A₁A₂=2b,

∴c=b=3.∴a²=b²+c²=18.

故所求椭圆的方程为.

(3)∵椭圆的长轴长是6,cos∠OFA=,

∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点).

∴|OF|=c,|AF|=a=3.∴

∴c=2,b²=3²-2²=5.

∴椭圆的方程是

(4)当椭圆的焦点在x轴上时，

∵a=3,,∴c=.

从而b²=a²-c²=9-6=3,

∴椭圆的方程为.

当椭圆的焦点在y轴上时，

∵b=3,,

∴∴a²=27.

∴椭圆的方程为

∴所求椭圆的方程为.