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    动点P(x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的点,O为坐标原点,设S=|OP|2,若x=2时,S取极小值,求S的最小值.

    思路分析:本题通过建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,然后利用函数求函数的最值.

    解:S=|OP|2=x2+y2=x2+(x2-2x-1)2=x4-4x3+3x2+4x+1,

    则S′=4x3-12x2+6x+4=2(x-2)(2x2-2x-1)=4(x-2)(x-)(x-).

    令S′=0,则x1=,x2=,x3=2.

    当x变化时,S′,S的变化情况如下表:

    x

    (-∞,)

    (,)

    (,2)

    2

    (2,+∞)

    S′

    -

    0

    +

    0

    -

    0

    +

    S

    ?↘

    极小值

    ?↗

    极大值

    ↘?

    极小值

    ↗?

    ∵S的定义域为(-∞,+∞),

    ∴所求的最小值是两个极小值中较小的一个.

    ∵当x=时,S=()4-4()3+3()2+4()+1=,

    当x=2时,S=24-4×23+3×22+4×2+1=5,

    ∴S的最小值为.


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在空间直角坐标系O-xyz中，
    OP
    =x
    i
    +y
    j
    +z
    k
    （其中
    i
    ，
    j
    ，
    k
    分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量）．有下列命题：
    ①若
    OP
    =x
    i
    +y
    j
    +0
    k
    (x＞0，y＞0)    且|
    OP
    -4
    j
    |=|
    OP
    +2
    i
    |    ，则
    1
    x
    +
    2
    y
    的最小值为2
    		2

    ②若
    OP
    =0
    i
    +y
    j
    +z
    k
    ，
    OQ
    =0
    i
    +y1
    j
    +
    k
    ，若向量
    PQ
    与
    k
    共线且|
    PQ
    |=|
    OP
    |，则动点P的轨迹是抛物线；
    ③若
    OM
    =a
    i
    +0
    j
    +0
    k
    ，
    OQ
    =0
    i
    +b
    j
    +0
    k
    ，
    OR
    =0
    i
    +0
    j
    +c
    k
    (abc≠0)    ，则平面MQR内的任意一点A（x，y，z）的坐标必须满足关系式
    x
    a
    +
    y
    b
    +
    z
    c
    =1；
    ④设
    OP
    =x
    i
    +y
    j
    +0
    k
    (x∈[0，4]，y∈[-4，4])    ，
    OM
    =0
    i
    +y1
    j
    +
    k
    (y1∈[-4，4])    ，
    ON
    =x2
    i
    +0
    j
    +0
    k
    (x2∈[0，4])    ，若向量
    PM
    ⊥
    j
    ，
    PN
    与
    j
    共线且|
    PM
    |=|
    PN
    |，则动点P的轨迹是双曲线的一部分．
    其中你认为正确的所有命题的序号为
    ②③④
    ②③④
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹是(　　)

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    ②设，若向量与k共线且，则动点P的轨迹是抛物线；

    ③若，则平面MQR内的任意一点A (x,y，z)的坐标必然满足关系式；

    ④设，，若向量与j共线且，则动点P的轨迹是双曲线的一部分.    其中你认为正确的所有命题的序号为. _______

     

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