Question

在空间直角坐标系O-xyz中，

OP

=x

i

+y

j

+z

k

（其中

i

，

j

，

k

分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量）．有下列命题：
①若

OP

=x

i

+y

j

+0

k

(x＞0，y＞0)且|

OP

-4

j

|=|

OP

+2

i

|，则

1

x

+

2

y

的最小值为2

2

②若

OP

=0

i

+y

j

+z

k

，

OQ

=0

i

+y1

j

+

k

，若向量

PQ

与

k

共线且|

PQ

|=|

OP

|，则动点P的轨迹是抛物线；
③若

OM

=a

i

+0

j

+0

k

，

OQ

=0

i

+b

j

+0

k

，

OR

=0

i

+0

j

+c

k

(abc≠0)，则平面MQR内的任意一点A（x，y，z）的坐标必须满足关系式

x

a

+

y

b

+

z

c

=1；
④设

OP

=x

i

+y

j

+0

k

(x∈[0，4]，y∈[-4，4])，

OM

=0

i

+y1

j

+

k

(y1∈[-4，4])，

ON

=x2

i

+0

j

+0

k

(x2∈[0，4])，若向量

PM

⊥

j

，

PN

与

j

共线且|

PM

|=|

PN

|，则动点P的轨迹是双曲线的一部分．
其中你认为正确的所有命题的序号为

②③④

．

Answer 1

分析：命题①利用|

OP

-4

j

|=|

OP

+2

i

|得到两个正数x，y的关系

x

3

+

2y

3

=1，求

1

x

+

2

y

的最小值时只要把“1”代入展开后利用基本不等式求最值；
命题②由已知求出向量

PQ

，由

PQ

与

k

共线且|

PQ

|=|

OP

|列式得到动点P的轨迹；
命题③利用M在平面MQR中，由共面向量基本定理得到

OA

=λ

OM

+μ

OQ

+t

OR

，且λ+μ+t=1，由坐标相等得到
λ，μ，t，则结论得证；
命题④由已知的向量得到向量

PM

与

PN

的坐标，利用条件

PM

⊥

j

，

PN

与

j

共线且|

PM

|=|

PN

|，列式得到结论．

解答：解：对于①，由

OP

=x

i

+y

j

+0

k

(x＞0，y＞0)且|

OP

-4

j

|=|

OP

+2

i

|，
所以

x2+(y-4)2

=

(x+2)2+y2

，即

x

3

+

2y

3

=1．
又x＞0，y＞0．所以

1

x

+

2

y

=(

1

x

+

2

y

)(

x

3

+

2y

3

)=

5

3

+

2y

3x

+

2x

3y

≥

5

3

+2

2y 3x • 2x 3y

=3．
所以命题①不成立；
对于②，由

OP

=0

i

+y

j

+z

k

，

OQ

=0

i

+y1

j

+

k

，
所以

PQ

=

OQ

-

OP

=(y1-y)

j

+(1-z)

k

．
由

PQ

与

k

共线且|

PQ

|=|

OP

|，得

y1=y (y1-y)2+(1-z)2=y2+z2

，
整理得：y²=-2z+1．
所以动点P的轨迹是抛物线，命题②正确；
对于③，由

OM

=a

i

+0

j

+0

k

，

OQ

=0

i

+b

j

+0

k

，

OR

=0

i

+0

j

+c

k

(abc≠0)，则平面MQR内的任意一点
A（x，y，z）满足

OA

=λ

OM

+μ

OQ

+t

OR

，即（x，y，z）=λ（a，0，0）+μ（0，b，0）+t（0，0，c）
所以x=λa，y=μb，z=tc．所以λ=

x

a

，μ=

y

b

，t=

z

c

．
由λ+μ+t=1，得

x

a

+

y

b

+

z

c

=1．所以③正确；
对于④，由

OP

=x

i

+y

j

+0

k

(x∈[0，4]，y∈[-4，4])，

OM

=0

i

+y1

j

+

k

(y1∈[-4，4])，

ON

=x2

i

+0

j

+0

k

(x2∈[0，4])，得

PM

=(-x，y1-y，1)，

PN

=(x2-x，-y，0)．
由向量

PM

⊥

j

，

PN

与

j

共线且|

PM

|=|

PN

|，得

y1=y x2=x (-x)2+(y1-y)2+1=(x2-x)2+(-y)2

，整理得：y²-x²=1（0≤x≤4，-4≤y≤4）．
所以动点P的轨迹是双曲线的一部分，所以④正确．
故正确的答案为②③④．

点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了向量的共线即垂直的条件，考查了空间向量的坐标加法与减法运算，该题题目叙述冗长，考查了学生的读题能力，属有一定难度题目．