Question

定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀，有f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点。
已知函数f（x）=ax²+(b+1)x+b-1(a≠0)。
(1) 当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
(2) 若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
(3) 在(2)的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、 B的中点C在函数g（x）=-x+的图象上，求b的最小值。
（参考公式：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中点坐标为）

Answer 1

解：（1）f（x）=x²-x-3，
由x²-x-3=0，
解得x=3或x=-1，
所以所求的不动点为-1或3。
（2）令ax²+（b+1）x+b+1=x，
则ax²+bx+b-1=0，①
由题意，方程①恒由两个不等实根，
所以△=b²-4a（b-1）>0，
即b²-4ab+4a>0对任意的b∈R恒成立，
则△′=16a²-16a<0，故0<a<1。
（3）依题意，设，
则AB中点C的坐标为，
又AB的中点在直线上，
∴，
∴，
又x₁，x₂是方程①的两个根，
∴，
∴，
，
∴，
∴当时，b_min=-1。