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已知函数f(x)=(1+x)t-1的定义域为(-1,+∞),其中实数t满足t≠0且t≠1.直线l:y=g(x)是f(x)的图象在x=0处的切线.
(1)求l的方程:y=g(x);
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,试确定t的取值范围;
(3)若a1,a2∈(0,1),求证:
a
a1
1
+
a
a2
2
a
a2
1
+
a
a1
2

注:当α为实数时,有求导公式(xα)′=αxα-1
分析:(1)根据函数的解析式求出导函数的解析式,求出切点坐标及切线的斜率(切点的导函数值),可得直线l的方程.
(2)构造函数h(x)=f(x)-g(x),若f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)≥0在(-1,+∞)上恒成立,即h(x)在(-1,+∞)上的最小值不小于0,分类讨论后,可得满足条件的t的取值范围;
(3)分a1=a2和a1≠a2两种情况证明结论,并构造函数φ(x)=xa1-xa2,先证得φ(x)是单调减函数,进而得到结论.
解答:解:(1)∵f(x)=(1+x)t-1
∴f'(x)=t(1+x)x-1
∴f'(0)=t,
又f(0)=0,
∴l的方程为:y=tx;…2'
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=(1+x)t-tx-1h'(x)=t(1+x)t-1-t=t[(1+x)t-1-1]
当t<0时,(1+x)t-1-1单调递减,
当x=0时,h'(x)=0
当x∈(-1,0),h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(0,+∞),h'(x)>0,h(x)单调递增.
∴x=0是h(x)的唯一极小值点,
∴h(x)≥h(0)=0,f(x)≥g(x)恒成立;…4'
当0<t<1时,(1+x)t-1-1单调递减,
当x=0时,h'(x)=0
当x∈(-1,0),h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(0,+∞),h'(x)<0,h(x)单调递减.
∴x=0是h(x)的唯一极大值点,
∴h(x)≤h(0)=0,不满足f(x)≥g(x)恒成立;…6'
当t>1时,(1+x)t-1-1单调递增,
当x=0时,h'(x)=0
当x∈(-1,0),h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(0,+∞),h'(x)>0,h(x)单调递增.
∴x=0是h(x)的唯一极小值点,
∴h(x)≥h(0)=0,f(x)≥g(x)恒成立;
综上,t∈(-∞,0)∪(1,+∞);…8'
证明:(3)当a1=a2,不等式显然成立;…9'
当a1≠a2时,不妨设a1<a2
a1a1+a2a2a1a2+a2a1?a1a1-a1a2a2a1-a2a2
φ(x)=xa1-xa2,x∈[a1,a2]
下证φ(x)是单调减函数:
φ′(x)=a1xa1-1-a2xa2-1=a1xa2-1(xa1-a2-
a2
a1
)

易知a1-a2∈(-1,0),1+a1-a2∈(0,1),
1
1+a1-a2
>1

由(2)知当t>1,(1+x)t>1+tx,x∈[a1,a2]
a
1
1+a1-a2
2
=[1+(a2-1)]
1
1+a1-a2
>1+
a2-1
1+a1-a2
=
a1
1+a1-a2
a1

a2
a
1+a1-a2
1

a2
a1
a
a1-a2
1
xa1-a2
∴φ'(x)<0,
∴φ(x)在[a1,a2]上单调递减.
∴φ(a1)>φ(a2),
a1a1-a1a2a2a1-a2a2
a1a1+a2a2a1a2+a2a1
综上,a1a1+a2a2a1a2+a2a1成立…14'
点评:本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程,利用导数研究函数的单调性,导数在函数最值问题中的应用,是导数的综合应用,难度比较大.
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π
4
)
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π
6
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1
x

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m
2
]
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1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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