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    设函数f（x）=数学公式
    （1）令N（x）=（1+x）2-1+ln（1+x），判断并证明N（x）在（-1，+∞）上的单调性，并求N（0）；
    （2）求f（x）在定义域上的最小值；
    （3）是否存在实数m，n满足0≤m＜n，使得f（x）在区间[m，n]上的值域也为[m，n]？
    （参考公式：[ln（1+x）′]=数学公式）

    解：（1）当x＞-1时，N′（x）=2x+2+＞0（2分）
    所以，N（x）在（-1，+∞）上是单调递增，N（0）=0（4分）
    （2）f（x）的定义域是（-1，+∞）

    当-1＜x＜0时，N（x）＜0，所以，f′（x）＜0，
    当x＞0时，N（x）＞0，所以，f′（x）＞0，（8分）
    所以，在（-1，0）上f（x）单调递减，在（0，+∞）上，f（x）单调递增，
    所以，fmin=f（0）=0（10分）
    （3）由（2）知f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，
    若存在m，n满足条件，则必有f（m）=m，f（n）=n，（11分）
    也即方程f（x）=x在[0，+∞）上有两个不等的实根m，n，
    但方程f（x）=x，即=0只有一个实根x=0，
    所以，不存在满足条件的实数m，n．（14分）
    分析：（1）先对函数求导，由导函数在x＞-1时的符号判断函数的单调性，代入求N（0）的值，
    （2）直接求定义域，利用f（x）单调性求解函数f（x）的最小值、值域，
    （3）假设存在符合条件的m，n则有，推导可判断m，n是否存在．
    点评：本题考查了利用导数判断函数的单调性及求函数的最值问题，要注意分类讨论思想在解题中的运用．
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    设函数f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为
    4
    4
    ．

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    （2013•安徽）设函数f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
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    （2007•浦东新区二模）记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．
    （1）判断函数f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
    （2）设函数f（x）=log2（1-2x），求f（x）的反函数f-1（x），并判断f（x）是否是M的元素；
    （3）f（x）=
    axx+b
    ∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，
    例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
    （1）设函数f（x）=log2（1-2x），判断f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函数f-1（x）；
    （2）f(x)=
    axx+b
    ∈M    （a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）设函数f（x）=xlog2x+（1-x）log2（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．
    （2）设正数P1，P2，P3，…P2n满足P1+P2+…P2n=1，求证：P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+…+P2nlog2P2n≥-n．

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