Question

16．设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，坐标分别是（-2，0）、（2，0），椭圆离心率为60°角的正弦值
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值和最小值；
（3）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆焦点及离心率求得焦点在x轴的椭圆标准方程．
（2）运用数量积的坐标运算，及函数思想，求得最值．
（3）运用设而不求法及数量积为负，求得直线l的斜率取值范围．

解答 解：（1）由题知椭圆焦点在x轴，故设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
椭圆离心率为60°角的正弦值，
∴$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$
又c=2，且b²=a²-c²，
∴a²=$\frac{16}{3}$，${b}^{2}=\frac{4}{3}$
∴椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{16}{3}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}=1$
（2）设椭圆上动点P（m，n），则${n}^{2}=\frac{4}{3}-\frac{{m}^{2}}{4}$
$\overrightarrow{P{F}_{1}}=（-2-m，-n）$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}=（2-m，-n）$
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2-m）（2-m）+n²=$\frac{3}{4}{m}^{2}-\frac{8}{3}$
∵${m}^{2}∈[0，\frac{16}{3}]$
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}∈$$[-\frac{8}{3}，\frac{4}{3}]$
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值为$\frac{4}{3}$，最小值为$-\frac{8}{3}$．
（3）由题知斜率不存在时，不符合题意．
故设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为y=kx+2，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{\frac{16}{3}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得（3+12k²）x²+48kx+32=0
△＞0，得${k}^{2}＞\frac{1}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-48k}{3+12{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{32}{3+12{k}^{2}}$
∠AOB为锐角，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=$\frac{32（1+{k}^{2}）}{3+12{k}^{2}}$$-\frac{96{k}^{2}}{3+12{k}^{2}}$+4           
∴$\frac{32（1+{k}^{2}）}{3+12{k}^{2}}$$-\frac{96{k}^{2}}{3+12{k}^{2}}$+4＞0
化简得：11-4k²＞0 即${k}^{2}＜\frac{11}{4}$
∴$\frac{1}{2}＜{k}^{2}＜\frac{11}{4}$
故直线l的斜率k的取值范围为$-\frac{\sqrt{11}}{2}＜k＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}＜k＜\frac{\sqrt{11}}{2}$．

点评 考查椭圆标准方程求解，椭圆中的函数思想，椭圆中的设而不求法．考查划归思想处理角为锐角．难度不大，属于中档题．