Question

6．某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60^°处，AB长为60千米，设∠BCD=θ，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB上的平均车速为20千米/小时．
（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t（θ），并指出其定义域；
（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出BC，AC，可得运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t（θ），并指出其定义域；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．

解答 解：（1）在△ABC中，$\frac{AB}{sin（π-θ）}=\frac{BC}{{sin\frac{π}{3}}}$，则$BC=\frac{{60•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{sinθ}=\frac{{30\sqrt{3}}}{sinθ}$，…（2分）
又$\frac{AC}{{sin（θ-\frac{π}{3}）}}=\frac{AB}{sin（π-θ）}$，则$AC=\frac{{60sin（θ-\frac{π}{3}）}}{sinθ}$，…（4分）
所以，运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t（θ）=$\frac{AC}{60}+\frac{BC}{20}=\frac{{\frac{{60sin（θ-\frac{π}{3}）}}{sinθ}}}{60}+\frac{{\frac{{30\sqrt{3}}}{sinθ}}}{20}$=$\frac{{sin（θ-\frac{π}{3}）}}{sinθ}+\frac{{3\sqrt{3}}}{2sinθ}$=$\frac{{sinθ-\sqrt{3}cosθ+3\sqrt{3}}}{2sinθ}$=$\frac{1}{2}+\frac{{3\sqrt{3}-\sqrt{3}cosθ}}{2sinθ}$，
其定义域为{θ|60^°＜θ＜120^°}．…（6分）
（2）$t'（θ）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{（3-cosθ）'sinθ-（3-cosθ）（sinθ）'}{{{{sin}^2}θ}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{1-3cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，…（9分）
令t'（θ）=0，则$cosθ=\frac{1}{3}$，
当$cosθ＞\frac{1}{3}$时，t'（θ）＞0；当$cosθ＜\frac{1}{3}$时，t'（θ）＜0，…（12分）
所以，当$cosθ=\frac{1}{3}$时，因为60^°≤θ≤120^°，所以$sinθ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$时，t（θ）取得最小值，此时，最小值为$\frac{1}{2}+\sqrt{6}$．
答：运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值为$\frac{1}{2}+\sqrt{6}$．…（14分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查正弦定理，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．