Question

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．

Answer 1

解（1）在△ADE中，y²=x²+AE²﹣2xAEcos60°y²=x²+AE²﹣xAE，①
又S_△ADE=S_△ABC=×2²=xAEsin60°xAE=2．②
②代入①得y²=x²+﹣2（y＞0），
∴y=（1≤x≤2）；
（2）如果DE是水管y= ≥ ，
当且仅当x²=，即x=时“=”成立，故DE∥BC，且DE=．
如果DE是参观线路，记f（x）=x²+， 可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，
故f（x）_max=f（1）=f（2）=5．
∴y_max=．
即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．